山門はお寺が山の中にあり山号を持つことから、この正門をくぐることから自然とこの名称が使われています。
一方、「三門」は、仏道修行で悟りに至るために通過しなければならない三つの関門、空、無相、無作の「三解脱門」（さんげだつもん）を略した呼称。禅宗では、七堂伽藍（三門、仏殿、法堂、僧堂、庫裏、東司、浴室）の中の一つです。
ということで、漢字で表すと「三門」に分がありと云った感じでしょうか。
ところで、三つの関門とは、空は「物事にこだわらない」、無相は「見かけで差別しない」、無作は「欲望のまま求めない」こと。三門をくぐることは、まさに修行そのもの。
禅寺山門めぐりもお奨めです。
・大徳寺の三門（金毛閣）に置かれた利休の木造とその後の秀吉との葛藤
・南禅寺の三門、石川五右衛門が「絶景かな」と見得を切ることでも有名
